Question

已知（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0，則4x+y的值為________..

Answer 1

0
分析：結(jié)合條件（3x+y）²⁰⁰¹+x²⁰⁰¹+4x+y=0和要求的結(jié)論（4x+y的值）可將條件等價(jià)變形為（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0，故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²⁰⁰¹+x即可將條件等價(jià)變形為f（3x+y）+f（x）=0再結(jié)合f（x）的單調(diào)性和奇偶性即可解題．
解答：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²⁰⁰¹+x，則（3x+y）²⁰⁰¹+（3x+y）+x²⁰⁰¹+x=0
∴f（3x+y）+f（x）=0
∵f（-x）=-（x²⁰⁰¹+x）=-f（x）且定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴f（x）的奇函數(shù)
∴f（3x+y）=f（-x）
又易得f（x）=x²⁰⁰¹+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)
∴3x+y=-x
∴4x+y=0
故答案為0
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．解題的關(guān)鍵是要構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²⁰⁰¹+x否則此題很難求解．