Question

（2013•保定一模）若平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，且|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，則|

a

+

b

+

c

|等于（　　）

• A．2
• B．5
• C．2或5
• D．

  2

  或

  5

Answer 1

分析：由題意可得每兩個向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，由此分別求得

a

•

b

、

b

•

c

、

a

•

c

的值，再根據(jù)|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

，運算求得結(jié)果

解答：解：由于平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，故每兩個向量成的角都等于120°，或都等于0°，
再由|

a

|=1，|

b

|=1，|

c

|=3，
①若平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，且都等于120°，
∴

a

•

b

=1×1×cos120°=-

1

2

，

b

•

c

=1×3×cos120°=-

3

2

，

a

•

c

=1×3×cos120°=-

3

2

．
|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

 
=

1+1+9+2(- 1 2 )+2(- 3 2 )+2(- 3 2 )

=2．
②平面向量

a

，

b

，

c

兩兩所成的角相等，且都等于0°，
則

a

•

b

=1×1=1，

b

•

c

=1×3=3，

a

•

c

=1×3=3，
|

a

+

b

+

c

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a • b +2 b c +2 a c

=

1+1+9+2+6+6

=5．
綜上可得，則|

a

+

b

+

c

|=2或5，
故選C．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．