Question

中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過C（2，2），且

CF1

•

CF2

=2．
（1）求橢圓E的方程．
（2）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

分析：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），則

CF1

=(2+c，2)，

CF2

=(2-c，2)，由

CF1

•

CF2

=2，知4-c²+4=2，即c²=6．由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，由

x2 12 + y2 6 =1 y=-x+m

，得3x²-4mx+2m²-12=0，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-12

3

，圓P的圓心為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），半徑r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，當圓P與y軸相切時，r=|

x1+x2

2

|，由此能求出直線l的方程和圓P的方程．

解答：解：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），則

CF1

=(2+c，2)，

CF2

=(2-c，2)，
∵

CF1

•

CF2

=2，∴4-c²+4=2，
∴c²=6．
設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

a2-6

=1，
把C（2，2）代入，得

4

a2

+

4

a2-6

=1，
整理，得a⁴-14a²+24=0，
解得a²=12，或a²=2（舍）
∴橢圓E的方程為

x2

12

+

y2

6

=1．
（2）依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，
由

x2 12 + y2 6 =1 y=-x+m

，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²）＞0，
得m²＜18．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-12

3

，
圓P的圓心為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
半徑r=

2

2

|x1-x2|=

2

2

(x1+x2)2-4x1x2

，
當圓P與y軸相切時，r=|

x1+x2

2

|，
則2x1x2=

(x1+x2)2

4

，
即

2(2m2-12)

3

=

4m2

9

，解得m²=9＜18，
當m=3時，直線l方程為y=-x+3，
此時，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4，
同理，當m=-3時，直線l方程為y=-x-3，
圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4．

點評：本題考查直線方程、圓的方程和橢圓方程的求法，具體涉及到直線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓和圓的簡單性質等基本知識．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．