Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)（2

2

，1）到兩焦點(diǎn)的距離之和為4

3

．
（1）求橢圓C 的方程；（2）過橢圓C 的右焦點(diǎn)F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸下方，且

AF

=3

FB

．求過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義得2a=4

3

，從而求出a的值，然后將點(diǎn)（2

2

，1）代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出b，從而求出橢圓的方程；
（2）分別設(shè)出A、B的坐標(biāo)，利用

AF

=3

FB

得到A、B坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后將A、B的坐標(biāo)代入橢圓的方程，通過解方程即可求得A、B的坐標(biāo)，最后設(shè)出所求圓的方程，將O、A、B的坐標(biāo)代入，解方程即可．

解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則2a=4

3

，a=2

3

．
∵點(diǎn)（2

2

，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

8

12

+

1

b2

=1，解得b=

3

，
∴所求橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＜0，y₂＞0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（3，0），
由

AF

=3

FB

，得3-x₁=3（x₂-3），-y₁=3y₂，即x₁=-3x₂+12，y₁=-3y₂①．
又A、B在橢圓C上，
∴

(-3x2+12)2

12

+

(-3y2)2

3

=1，

x22

12

+

y22

3

=1，
解得x₂=

10

3

，y₂=

2

3

，
∴B（

10

3

，

2

3

），代入①得A（2，-

2

）．
設(shè)過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則將O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
F=0，6+2D-

2

E+F=0，

102

9

+

10

3

D+

2

3

E+F=0，
解得D=-

10

3

，E=-

2

3

，F(xiàn)=0，
故過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²-

10

3

x-

2

3

y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、向量及圓的方程的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧，難度中等．