Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=

cosπx，x∈[0， 1 2 ] 2x-1，x∈( 1 2 ，+∞)

，則不等式f（x-1）≤

1

2

的解集為（　　）

• A、[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  4

  ，

  2

  3

  ]
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]∪[

  4

  3

  ，

  7

  4

  ]
• D、[-

  3

  4

  ，-

  1

  3

  ]∪[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先求出當x≥0時，不等式f（x）≤

1

2

的解，然后利用函數(shù)的奇偶性求出整個定義域上f（x）≤

1

2

的解，即可得到結(jié)論．

解答： 解：當x∈[0，

1

2

]，由f（x）=

1

2

，即cosπx=

1

2

，
則πx=

π

3

，即x=

1

3

，
當x＞

1

2

時，由f（x）=

1

2

，得2x-1=

1

2

，
解得x=

3

4

，
則當x≥0時，不等式f（x）≤

1

2

的解為

1

3

≤x≤

3

4

，（如圖）
則由f（x）為偶函數(shù)，
∴當x＜0時，不等式f（x）≤

1

2

的解為-

3

4

≤x≤-

1

3

，
即不等式f（x）≤

1

2

的解為

1

3

≤x≤

3

4

或-

1

3

≤x≤-

2

3

，
則由-

3

4

≤x-1≤

1

3

或

1

3

≤x-1≤

3

4

，
解得

1

4

≤x≤

2

3

或

4

3

≤x≤

7

4

，
即不等式f（x-1）≤

1

2

的解集為{x|

1

4

≤x≤

2

3

或

4

3

≤x≤

7

4

}，
故選：A．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用分段函數(shù)的不等式求出x≥0時，不等式f（x）≤

1

2

的解是解決本題的關(guān)鍵．