Question

【題目】已知原點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為2，點(diǎn)到，的距離分別與到直線的距離相等．

（1）證明為定值，并求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線，與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，．（2）見解析，或．

【解析】

（1）根據(jù)題意易證為定值，由，判定的軌跡為中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓定義可得橢圓方程；

（2）根據(jù)題意知直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，由得出的取值范圍，再由推得，有韋達(dá)定理即可得出直線的方程.

（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為．

由已知，，，

又為的中點(diǎn)，

．

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓．

，．．

點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）假設(shè)直線存在，當(dāng)的斜率不存在時(shí)，顯然不成立

設(shè)，，．

由得

，或．

，．

，

．

．

．

．

解得或．

，且，

存在直線滿足條件，直線的方程為或，即或．