Question

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，所有的棱長(zhǎng)都為2，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求平面與平面所成的銳角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，
在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，
則，所以平面
而平面，故
（Ⅱ）當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)平面.設(shè)平面與平面的交線為，
在三棱柱中，，平面，則，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接.由，知平面，
則，故為平面與平面所成二面角的平面角。
在中，,則
在中，，,
即平面與平面所成銳角的余弦值為。
方法2：當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)平面.以所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意得.
由得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為
而，則，取
而平面，則平面的一個(gè)法向量為
于是，
故平面與平面所成銳角的余弦值為。