Question

在△ABC中，若I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交BC于D，則有

AB

AC

=

BD

DC

稱之為三角形的角平分線定理，現(xiàn)已知AC=2，BC=3，AB=4，且

AI

=x

BC

+y

AC

，求實(shí)數(shù)x及y的值．

Answer 1

分析：根據(jù)內(nèi)角平分線定理得到BD，BC的長(zhǎng)度，根據(jù)B，D，C三點(diǎn)共線寫出三個(gè)向量之間的關(guān)系，根據(jù)I是內(nèi)心，寫出向量之間的關(guān)系，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得到要求的x，y的值．

解答：解：由三角形角平分線定理知
BD=2，BC=1
由B、D、C三點(diǎn)共線可知

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

又I為內(nèi)心

BA

BD

=

AI

ID

=

4

2

=2
可知

AI

=

2

3

AD

=

2

9

AB

+

4

9

AC

①
又

AI

=x

BC

+y

AC

=x(

AC

-

AB

)+y

AC

=-x

AB

+(x+y)

AC

②
由②可得

-x= 2 9 x+y= 4 9

解得

x=- 2 9 y= 2 3

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的共線的應(yīng)用，考查向量的線性運(yùn)算，注意本題有一個(gè)新定理，作為解題的依據(jù)，這里首先要看清楚定理的形式，進(jìn)一步會(huì)應(yīng)用定理．