Question

【題目】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)在軸上， 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，

（1）求曲線， 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）不存在.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法設(shè)的方程為，根據(jù)離心率和點(diǎn)在上，列出方程組，解出，故得其方程，根據(jù)題意可設(shè)的方程為，由可得最后結(jié)果；（2）將以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為，假設(shè)存在，首先驗(yàn)證斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)斜率不存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)的方程為，則.所以橢圓的方程為.點(diǎn)在上，設(shè)的方程為，則由，得.所以拋物線的方程為.

（2）因?yàn)橹本�過(guò)拋物線的焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，或點(diǎn)，顯然以線段為直徑的圓不過(guò)原點(diǎn)，故不符合要求；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為，

代入的方程，并整理得.

設(shè)點(diǎn)，則，

.

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，所以，所以.化簡(jiǎn)得，無(wú)解.