Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若設(shè)2（e+ ）＜a＜ ，且f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范圍．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數(shù)），

∴f（x）的定義域為（0，+∞）， = ，

令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，對稱軸x= ，g（0）=2，

當(dāng)△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4時，f′（x）≥0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間．

當(dāng)△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4時，

①若a＜﹣4，則f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．

②若a＞4，令f′（x）=0，得 ， ，

當(dāng)x∈（0，x1）∪（x2，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0．

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1），（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2）．

綜上所述：當(dāng)a≤4時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間．

當(dāng)a＞4時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1）和（x2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x1，x2）

（2）解：由（1）知，若f（x）有兩個極值點，則a＞4，且x1+x2= ＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，

又∵ ，a=2（ ）， ，e+ ＜ ＜3+ ，

又0＜x1＜1，解得 ．

∴f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）

=（ ）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）

=（x1﹣x2） ﹣a（x1﹣x2）+2ln

=﹣（ ）（x1+ ）+4lnx1

= ，

令h（x）= ，（ ），

則 ＜0恒成立，

∴h（x）在（ ）單調(diào)遞減，∴h（ ）＜h（x）＜h（ ），

即 ﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜ ﹣4ln3，

故f（x1）﹣f（x2）的取值范圍為（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的定義域為（0，+∞）， = ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）推導(dǎo)出f（x1）﹣f（x2）= ，令h（x）= ，（ ），則 ＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．