Question

已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）在圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a=1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=f（a_n）+2-a_n（n∈N^*），求證：a₁•a₂•a₃…a_n=n+1．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，可求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）構(gòu)造g（x）=f（x）-2lnx，求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；
（3）取a=1得f（x）=x-

1

x

，利用a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

，可得{

1

an-1

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1-1

=1，公差為1，從而可得數(shù)列通項(xiàng)，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=a-

b

x2

，根據(jù)題意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；
（2）解：由（1）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
則g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2-a

a

＞1，若1＜x＜

2-a

a

，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數(shù)，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；
②a≥1時(shí)，

2-a

a

≤1，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數(shù)，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求的取值范圍是[1，+∞）；
（3）證明：取a=1得f（x）=x-

1

x

，所以a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

∴a_n+1-1=

an-1

an

，∴

1

an+1-1

=

1

an-1

+1
∴{

1

an-1

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1-1

=1，公差為1，
∴

1

an-1

=n，∴an=

n+1

n

∴a₁•a₂•…a_n=

2

1

•

3

2

•…•

n+1

n

=n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．