Question

若實數(shù)x、y滿足等式(x－2)²＋y²＝3，那么的最大值為

A.                                                              B.

C.                                                            D.

Answer 1

解法一:∵實數(shù)x、y滿足(x－2)²＋y²＝3，

∴(x，y)是圓(x－2)²＋y²＝3上的點，記為P.

∵是直線OP的斜率，記為k,∴OP:y=kx，代入圓方程，消去y，得(1＋k²)x²－4x＋1=0.直線OP與圓有公共點的充要條件是Δ=(－4)²－4(1＋k²)≥0.

∴－≤k≤.

解法二:同解法一，直線OP與圓有公共點的充要條件是≤，

∴－≤k≤.故選D.

解法三:同解法一，直線OP與圓相切時，k取最值.∴= .∴k=±.

∴k_最大值=.選D.

解法四:方程(x－2)²＋y²＝3的一個參數(shù)方程是設u=，

則u=.∴sinθ－ucosθ=2u，

sin(θ－)＝2u(tan＝u)，

sin(θ－)=.

∵|sin(θ－)|≤1，

∴4u²≤3(1＋u²)，－≤u≤.

∴的最大值為u_最大值=.

答案:D

點評:前三種解法中，利用的幾何意義是解決本題的關鍵.解法四是利用了圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的值域.解法四中也可利用萬能公式，把u表示成tan的函數(shù)來求最值.