Question

【題目】已知球內(nèi)接四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點(diǎn).

（1）求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）線(xiàn)線(xiàn)角找平移：在正方形中， ，所以是異面直線(xiàn)和所成的角或其補(bǔ)角，再利用等腰三角形性質(zhì)求余弦值（2）先根據(jù)平行轉(zhuǎn)化到平面的距離等于到平面的距離，再利用等體積法求高，即得點(diǎn)到平面距離

試題解析：由球的表面積公式，得球的半徑，

設(shè)球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，

連，則，

則在，有，即，可得正方形的邊長(zhǎng)為,

側(cè)棱.

（1）在正方形中， ，所以是異面直線(xiàn)和所成的角或其補(bǔ)角，

取中點(diǎn)，在等腰中，可得，斜高，

則在中， ，

所以異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值為；

（2）由為中點(diǎn)，得，

且滿(mǎn)足平面平面，所以平面，

所以到平面的距離等于到平面的距離，

又因?yàn)?/span>,

再設(shè)到平面的距離為，則由，

可得，則，

所以點(diǎn)到平面的距離.