Question

（2012•江蘇）A．[選修4-1：幾何證明選講]
如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD=DC，連接AC，AE，DE．
求證：∠E=∠C．
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A的逆矩陣A-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，求矩陣A的特征值．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

2

，

π

4

），圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．
D．[選修4-5：不等式選講]
已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x+y|＜

1

3

，|2x-y|＜

1

6

，求證：|y|＜

5

18

．

Answer 1

分析：A．要證∠E=∠C，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到．從而得證．
B．由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而求出矩陣A的特征值．
C．根據(jù)圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

2

，

π

4

），求出圓的半徑，從而得到圓的極坐標(biāo)方程．
D．根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證．

解答：A．證明：連接 AD．
∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．
∴AD⊥BD（垂直的定義）．
又∵BD=DC，∴AD是線段BC 的中垂線（線段的中垂線定義）．
∴AB=AC（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）．
∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）．
又∵D，E 為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，
∴∠B=∠E（同弧所對(duì)圓周角相等）．
∴∠E=∠C（等量代換）．
B、解：∵矩陣A的逆矩陣A-1=

- 1 4 3 4 1 2 - 1 2

，∴A=(A-1)-1=

2 3 2 1

 ]
∴f（λ）=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=λ²-3λ-4=0
∴λ₁=-1，λ₂=4
C、解：∵圓心為直線ρsin（θ-

π

3

）=-

3

2

與極軸的交點(diǎn)，
∴在ρsin（θ-

π

3

）=-中令θ=0，得ρ=1．∴圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）．
∵圓C 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

2

，

π

4

），∴圓C的半徑為PC=1．
∴圓 的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
D、證明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）-（2x-y）|≤2|x+y|+2|2x-y|，：|x+y|＜

1

3

，|2x-y|＜

1

6

，
∴3|y|＜

2

3

+

1

6

=

5

6

，
∴|y|＜

5

18

點(diǎn)評(píng)：本題是選作題，綜合考查選修知識(shí)，考查幾何證明選講、矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式證明，綜合性強(qiáng)