Question

（2012•江蘇三模）選修4-5：不等式選講
已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a²+b²+c²=1．求證：1＜a+b＜

4

3

．

Answer 1

分析：由題意可得a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個(gè)不等實(shí)根，由判別式大于0可得-

1

3

＜c＜1．再由（c-a）（c-b）＞0，
解得c＜0，或c＞

2

3

，取交集得到-

1

3

＜c＜0，從而得到1＜a+b＜

4

3

．

解答：證明：因?yàn)閍+b=1-c，ab=

(a+b)2-(a2+b2)

2

=c²-c，所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個(gè)不等實(shí)根，
則△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，解得-

1

3

＜c＜1．…（4分）
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，即c²-（1-c）c+c²-c＞0，解得c＜0，或c＞

2

3

（不和題意，舍去），…（7分）
所以-

1

3

＜c＜0，即1＜a+b＜

4

3

．         …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．