Question

（2012•江蘇三模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且對(duì)任意n∈N^*，恒有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)區(qū)間[

an

3n

，

an+1

3(n+1)

]中的整數(shù)個(gè)數(shù)為b_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，利用疊乘法，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）確定區(qū)間左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)，分n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)討論，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，當(dāng)n≥2時(shí)，

an

an-1

=

2n

n-1

，
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

2n

n-1

•

2(n-1)

n-2

•…

2•2

1

•2=n•2n，
此式對(duì)于n=1也成立，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=n•2n．…（4分）
（2）由（1）知，

an

3n

=

2n

3

=

(3-1)n

3

=

C

0 n

3n-1-

C

1 n

3n-2+…+(-1)n-1

C

n-1 n

+

(-1)n

3

，

an+1

3(n+1)

=

2n+1

3

=

(3-1)n+1

3

=

C

0 n+1

3n-

C

1 n+1

3n-1+…+(-1)n

C

n n+1

+

(-1)n+1

3

，…（8分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=(

2n+1

3

-

1

3

)-(

2n

3

+

1

3

)+1=

2n+1

3

；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn=(

2n+1

3

+

1

3

-1)-(

2n

3

-

1

3

)=

2n-1

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項(xiàng)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．