Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當時，過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求實數(shù)的值；

（Ⅲ）設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為： ，當時，若在內恒成立，則稱為函數(shù)的“轉點”.當時，試問函數(shù)是否存在“轉點”.若存在，請求出“轉點”的橫坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ） ；（Ⅲ）參考解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導數(shù)，再求導數(shù)零點，最后根據(jù)導數(shù)符號變化規(guī)律，確定極小值，（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線的斜率等于切點處導數(shù)值，可得關于的方程，再利用導數(shù)研究單調性確定方程解的個數(shù)，最后根據(jù)估值得方程的解，（Ⅲ）先求切線方程得，再求函數(shù)導數(shù)，最后根據(jù)導函數(shù)的兩個零點必須相同得“轉點”.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

當時；當時；當時.

所以當時， 取到極小值-2.

（Ⅱ），所以切線的斜率，

整理得，顯然是這個方程的解，

又因為在上是增函數(shù)，

所以方程有唯一實數(shù)解，故.

（Ⅲ）當時，函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為，

設，則， ，

若， 在上單調遞減，所以當時，此時；

所以在上不存在“轉點”.

若時， 在上單調遞減，所以當時，此時，所以在上不存在“轉點”.

若時，即在上是增函數(shù)，

當時， ，

當時， ，即點為“轉點”，

故函數(shù)存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標.