Question

【題目】已知在四棱柱，側(cè)棱底面， ， ，且， ， ，側(cè)棱.

（1）若為上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使平面；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 平面.（2）

【解析】試題分析：（1）以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，由，設(shè)，可求點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)E的位置； （2）由圖求平面的一個(gè)法向量，再求平面的一個(gè)法向量，利用公式求二面角的余弦值.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， 平面.

如圖，以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，則， ， ， ， .

設(shè)，則， ， .

平面， 不妨設(shè)，

.

，解得.

所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 時(shí)，

平面.

（2）連接， ， 平面，

向量為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，

,

，解得.

.

所以二面角的余弦值為.