Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若直線于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過作直線，交于點(diǎn).試判斷是否為定值？若是，求出其定值；若不是，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】分析：（1）由題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)的軌跡E的方程為 ．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立可得，由直線平行的充要條件可得的方程為，與橢圓方程聯(lián)立計算可得，，，則為定值2.

詳解：（1）設(shè)，由題意得 ，

所以，　　

所以，化簡得，

所以所求點(diǎn)的軌跡E的方程為 ．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ，

令，得，即．

由　解得，即，

因?yàn)?/span>，所以的方程為，

由　解得，　 　

所以，，，

所以＝2．