Question

（2013•麗水一模）已知函數f(x)=

1

2

x(1+ae-2x+2)．
（Ⅰ）若a=1，記g（x）=f′（x），求證：當x＞

1

2

時，0≤g(x)＜

1

2

；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，且x₁＜1＜x₂，若f(xi)＜

4

3

（i=1，2），求實數a的取值范圍．（注：e是自然對數的底數．）

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2），可求得g（x）=f′（x），x=1時，g′（1）=0；對x分

1

2

＜x＜1與x＞1討論，即可證得結論；
（Ⅱ）可求得f′（x_i），由f′（x_i）=

1

2

+a（

1

2

-x_i）e-2xi+2=0可求得e2xi-2=a（2x_i-1），繼而得a＞0，利用（Ⅰ）的結論可求得f（x_i）

1

4

[（2x_i-1）+

1

2xi-1

]+

1

2

，結合已知有f（x_i）＜

4

3

，從而可求得x_i＜

1

2

或

2

3

＜x_i＜2，再對之分類討論，解不等式組即可．

解答：解（Ⅰ）  因為 a=1，所以f（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2），
g（x）=f′（x）=

1

2

x（1+e^-2x+2）+

1

2

x•（-2）e^-2x+2=

1

2

+（

1

2

-x）e^-2x+2=，
經觀察得，x=1時，g′（1）=0；
當

1

2

＜x＜1時，g′（x）＜0，
當x＞1時，g′（x）＞0
所以，g（x）≥g（1）=0，又

1

2

-x＜0，
所以，g（x）=

1

2

+（

1

2

-x）e^-2x+2＜

1

2

，
所以，當x＞

1

2

時，0≤g（x）＜

1

2

…（6分）
（Ⅱ） 由f′（x_i）=

1

2

+a（

1

2

-x_i）e-2xi+2=0
得：e2xi-2=a（2x_i-1），
因為方程e^2x-2=a（2x-1）有兩解，所以a＞0
由f（x_i）=

1

2

x_i（1+ae-2xi+2）=

1

2

x_i（1+

1

2xi-1

）=

1

4

[（2x_i-1）+

1

2xi-1

]+

1

2

＜

4

3

，
解得：x_i＜

1

2

或

2

3

＜x_i＜2，
（�。� 當x₁＜

1

2

，1＜x₂＜2時，

a＞0 e-1＜0 1＜a e2＞3a

⇒無解
（ⅱ） 當

2

3

＜x₁＜1，1＜x₂＜2時，

a＞0 e- 2 3 ＞ 1 3 a 1＜a e2＞3a

解得1＜a＜3e-

2

3

，
所以，實數a的取值范圍為（1，3e-

2

3

） …（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，利用導數研究函數的單調性，考查抽象思維與創(chuàng)新意識，考查轉化思想與分類討論思想的運用，屬于難題．