Question

如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知AA₁=2,,．

（1）求證：；
（2）試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；
（3）在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）見(jiàn)解析   （3）

(I)根據(jù)線面垂直的判定定理只需證明和即可.
(2)易證,然后設(shè)CE=x,則,則,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221252362810.png" style="vertical-align:middle;" />,則，在直角三角形BEB₁中根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程,解出x的值，確定E為位置.
(3)本小題可以考慮向量法.求出兩個(gè)面的法向量，再求法向量的夾角，根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)求二面角
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221251801409.png" style="vertical-align:middle;" />側(cè)面，故．
在△BC₁C中，．
由余弦定理有 ．
故有 而 且平面
．…….……………4分
（2）由
從而 且 故
不妨設(shè) ，則，則 
又 則^，
在直角三角形BEB₁中有，  從而
故為的中點(diǎn)時(shí)，．……………9分
法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，

則由得   即
．
化簡(jiǎn)整理得      或 當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意
當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)故為的中點(diǎn)使． ……….…9分
（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，

的中點(diǎn)，的中點(diǎn)．連則，連則，
連則，連則，且為矩形，．
又． 故為所求二面角的平面角．
在中，．
．．…………15分
法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221254063896.png" style="vertical-align:middle;" />，  ．
故