Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；，是過(guò)點(diǎn)且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點(diǎn)，交橢圓E于，兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）求證直線與直線的斜率乘積為定值．

Answer 1

（1）． （2）． （3）

本試題主要是考出了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，求解直線的斜率問(wèn)題，韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及判別式的綜合運(yùn)用。
（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)論。
（2）設(shè)出直線方程，直線與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于未知數(shù)的一元二次方程，然后借助于韋達(dá)定理和判別式得到k的取值范圍。
（3）利用兩點(diǎn)式得到直線的斜率，借助于韋達(dá)定理求證其積為定值。
（1）設(shè)橢圓E的方程為，
由得所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …… 4分
（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則，
由消去并化簡(jiǎn)整理，得， …… …… 6分
根據(jù)題意，，解得 ，同理可得，即，
∴有，解得．    …… 8分
（3）設(shè)，，，那么，
則 ，，即， 10分
同理可得，即，
∴ ，即直線與直線的斜率乘積為定值