Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與，各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．
（Ⅰ）分別說明，是什么曲線，并求出a與b的值；
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，與，的交點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)，與，的交點(diǎn)分別為，求四邊形的面積．

Answer 1

（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓; （Ⅱ）四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圓和橢圓的參數(shù)方程特征可以判斷出C₁是圓，C₂是橢圓；然后還原到直角坐標(biāo)系中，根據(jù)即表示的x軸的非負(fù)半軸，根據(jù)表示的是y軸的非負(fù)半軸可以分別求出a＝3和b＝1；
（Ⅱ）先分別求出在直角坐標(biāo)系下的方程：C₁：，C₂：然后再求出第一象限的角平分線與C₁，C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)和第四象限與C₁，C₂交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)判斷出四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形，然后求得面積.
試題解析：（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓．
當(dāng)時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，0)，(a，0)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以a＝3.
當(dāng)時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，1)，(0，b)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以b＝1.
（Ⅱ）C₁，C₂在平面直角標(biāo)系下的方程分別為
當(dāng)時(shí)，射線l與C₁交點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為，與C₂交點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，射線l與C₁，C₂的兩個(gè)交點(diǎn)A₂，B₂分別與A₁，B₁關(guān)于x軸對(duì)稱，因此四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形．
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為