Question

【題目】如圖，楔形幾何體由一個(gè)三棱柱截去部分后所得，底面側(cè)面，，楔面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)在側(cè)面的射影是矩形的中心，點(diǎn)在上，且.

（1）證明：平面；

（2）求楔形幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接交于，連接，，則是的中點(diǎn)，，利用線段的度量計(jì)算證明，即可得答案；

（2）由（1）可知，楔形幾何體由直三棱柱和四棱錐組成，利用柱體和錐體的體積公式計(jì)算即可.

（1）如圖，連接交于，連接，.

則是的中點(diǎn)，.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

又平面平面，所以平面平面，

根據(jù)題意，四邊形和是全等的直角梯形，

三角形和是全等的等腰直角三角形，

所以，，

在直角三角形中，，

所以，，.

于是，，所以，.

因?yàn)?/span>平面，，

所以平面.

（2）由（1）可知，楔形幾何體由直三棱柱和四棱錐組成，

直三棱柱的體積為，

四棱錐的體積為，

所以楔形幾何體的體積為.