Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得與的單調(diào)區(qū)間相同，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若，求證：在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)．（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）當(dāng) 時(shí),可求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而確定極值;

（2）先求出的單調(diào)區(qū)間，假設(shè)存在，發(fā)現(xiàn)推出矛盾，于是不存在；

（3）若，令，求的單調(diào)性即可證明不等式成立.

解：（1）當(dāng) 時(shí)，，

在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

當(dāng) 時(shí)，極小值為，無(wú)極大值

（2），令

則,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

若存在實(shí)數(shù)，使得與的單調(diào)區(qū)間相同，

則，

此時(shí)，與在上單調(diào)遞減矛盾，

所以不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)．

（3），記.

，又在上單調(diào)遞增，且

知在上單調(diào)遞增，故.

因此，得證．