Question

已知函數(shù)（其中且），是的反函數(shù).
（1）已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的奇偶性和增減性；
（3）設(shè)，其中.記，數(shù)列的前項(xiàng)的和為（），
求證：.

Answer 1

(1)；(2)奇函數(shù)，減函數(shù)；(3)證明見解析．

試題分析：(1)這是一個對數(shù)方程，首先要轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)有，從而有，方程在上有解，就變?yōu)榍蠛瘮?shù)在上的值域，轉(zhuǎn)化時(shí)注意對數(shù)的真數(shù)為正；(2)奇偶性和單調(diào)性我們都根據(jù)定義加以解決；(3)，
，要證明不等式成立，最好是能把和求出來，但看其通項(xiàng)公式，這個和是不可能求出的，由于我們只要證明不等式，那么我們能不能把放縮后可求和呢？，顯然，即，左邊易證，又由二項(xiàng)式定理
，在時(shí)，，所以，注意到，至此不等式的右邊可以求和了，
，得證．
試題解析：（1）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，
該函數(shù)在上遞增、在上遞減，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范圍為。         4分
（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034500555271.png" style="vertical-align:middle;" />，         5分
定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又， ，所以函數(shù)為奇函數(shù)。         6分
下面討論在上函數(shù)的增減性.
任取、，設(shè)，令，則，，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034500742184.png" style="vertical-align:middle;" />，，，所以.        7分
又當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以.由定義知在上函數(shù)是減函數(shù).         8分
又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以在上函數(shù)也是減函數(shù).        9分
（3） ；        10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034459634222.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，。  11分
設(shè)，時(shí)，則 ，   12分
且，   13分
由二項(xiàng)式定理，        14分
所以，
從而。        18分