Question

某單位建造一間地面面積為12m²的背面靠墻的矩形小房子，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)am．房屋正面的造價(jià)為400元/m²，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m²，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：已知中地面面積為12m²，我們可得xy=12有y=

12

x

，根據(jù)房屋正面的造價(jià)為400元/m²，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m²，屋頂?shù)脑靸r(jià)共5200元，結(jié)合墻高為3m，我們可以構(gòu)造房屋總造價(jià)的函數(shù)解析式，利用基本不等式或?qū)��?shù)即可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到答案．

解答：解：設(shè)總造價(jià)為Z元，則xy=12，有y=

12

x

∴Z=3y×400+6x×150+5800
=900（x+

16

x

）+5800…（3分）
≥900×2

x• 16 x

+5800
=13000  …（6分）
當(dāng) x=

16

x

時(shí)，即x=4時(shí)，Z有最小值13000，
若a≥4時(shí)，則x=4總進(jìn)價(jià)最低，最低總造價(jià)是13000元．
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，則y′=900（1-

16

x2

）
∴當(dāng)0＜x＜4時(shí)，y′＜0，故函數(shù)y=900（x+

16

x

）+5800（0，a]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y有最小值，即最低總造價(jià)為900（a+

16

a

）+5800元
答：當(dāng)a≥4時(shí)，x=4總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是13000元；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，x=a總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為900（a+

16

a

）+5800元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．