Question

（2008•寶坻區(qū)一模）某單位建造一間地面面積為12m²的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過a米，房屋正面的造價為400元/m²，房屋側面的造價為150元/m²，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．
（1）把房屋總價y表示成x的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域．
（2）當側面的長度為多少時，總造價最底？最低總造價是多少？

Answer 1

分析：（1）分別算出房子的兩個側面積乘以150再加上房子的正面面積乘以400再加上屋頂和地面的造價即為總造價；
（2）我們可以先求房屋總造價的函數(shù)解析式，利用基本不等式或?qū)��?shù)即可求出函數(shù)的最小值，進而得到答案．

解答：解：（1）由題意可得，y=3(2x×150+

12

x

×400)+5800=900(x+

16

x

)+5800(0＜x≤a)…（5分）
（2）y=900(x+

16

x

)+5800≥900×2

x× 16 x

+5800=13000
當且僅當x=

16

x

即x=4時取等號…（7分）
若a≥4，x=4時，有最小值13000．…（8分）
若a＜4，任取x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂y1-y2=900(x1+

16

x1

)+5800-900(x2+

16

x2

)-5800=900[(x1-x2)+16(

1

x1

-

1

x2

)]=

900(x1-x2)(x1x2-16)

x1x2

∵x₁＜x₂≤a，∴x1-x2＜0，x1x 2＜a2＜16
∴y₁-y₂＞0
∴y=900(x+

16

x

)+5800在(0，a]上是減函數(shù)…（10分）
∴當x=a時y有最小值900(a+

16

a

)+5800…（12分）
（此題利用導數(shù)相應得分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確構建函數(shù)是關鍵，屬于基礎題．