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        1. (2010•武昌區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx,x∈R的圖象與x軸相切于非原點(diǎn)的一點(diǎn),且函數(shù)的極小值為-4.
          (1)求b,c的值;
          (2)對(duì)a<0,記F(a)為f(x)在[a,0]上的最小值,若F(a)≤λa恒成立,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
          (3)求證:當(dāng)-1<x<0時(shí),f(x)<4sinx.
          分析:(1)根據(jù)f(x)=x3+bx2+cx的圖象與x軸相切于非原點(diǎn)的一點(diǎn),可以判斷c≠0.且當(dāng)x小于0時(shí)有一個(gè)極值為0,結(jié)合圖象可得方程x2+bx+c=0有且僅有一個(gè)根,且在這個(gè)根處導(dǎo)數(shù)等于0,據(jù)此可求出b,c的值.
          (2)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)等于0,求出極值點(diǎn),再按a的取值討論求出函數(shù)在[a,0]上的最小值,代入F(a)≤λa,求λ的取值范圍.
          (3)由(2)知,當(dāng)-1<x<0,f(x)<4x恒成立,所以可用放縮法,證明4x<4sinx即可,再轉(zhuǎn)換為判斷函數(shù)y=4x-4sinx與0的大小比較,借助導(dǎo)數(shù)求出.
          解答:解:(1)依題意,函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
          f'(x)=3x2+2bx+c∵原點(diǎn)不是切點(diǎn),∴c≠0.
          記切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0(x0<0)
          又f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c)
          則方程x2+bx+c=0有且僅有一個(gè)根x=x0∴△=b2-4c=0,即c=
          b2
          4
          .①
          f′(x)=3x2+2bx+c=3x2+2bx+
          b2
          4
          =
          (6x+b)(2x+b)
          4

          x1=-
          b
          6
          ,x2=-
          b
          2
          (b>0)
          f(-
          b
          6
          )=-4
          ,即5b2-36bc+432=0.②
          由①②,解得b=6,c=9
          (2)f(x)=x3+6x2+9x,由f(x)=-4得x=-4或-1.∴當(dāng)a<-4時(shí),f(x)在[a,0]上的最小值F(a)=f(a)=a3+6a2+9a
          當(dāng)-4≤a≤1時(shí),f(x)在[a,0]上的最小值F(a)=f(-1)=-4
          當(dāng)1<a<0時(shí),f(x)在[a,0]上的最小值F(a)=f(a)=a3+6a2+9a
          要使F(a)≤λa恒成立,只需λ≤
          F(a)
          a
          恒成立,∴當(dāng)a<-4時(shí),
          F(a)
          a
          =a2+6a+9=(a+3)2>1
          ,則λ≤1
          當(dāng)1<a<0時(shí),
          F(a)
          a
          =a2+6a+9=(a+3)2>4
          則λ≤4
          當(dāng)-4≤a≤-1時(shí),
          F(a)
          a
          =
          -4
          a
          ≥1
          ,則λ≤1
          綜上所述,λ≤1
          (3)由(2)知,當(dāng)-1<x<0,f(x)<4x恒成立
          (或利用f(x)-4x=x3+6x2+5x=x(x+1)(x+5)<0在-1<x<0,恒成立)
          記g(x)=x-sinx(-1<x<0),
          則g'(x)=1-cosx>0.∴g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,g(x)<g(0)=0.
          ∴x<sinx在-1<x<0恒成立,∴-1<x<0時(shí),在f(x)≤4x<4sinx,得證
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值,最值,以及單調(diào)性的判斷之間的關(guān)系,屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2010•武昌區(qū)模擬)球面上有3個(gè)點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的
          1
          6
          ,經(jīng)過這3點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π,那么這個(gè)球的體積為( 。

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          (2010•武昌區(qū)模擬)一個(gè)口袋中裝有4個(gè)紅球和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球顏色不同則中獎(jiǎng).
          (Ⅰ)試求一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P;
          (Ⅱ)求三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)中獎(jiǎng)次數(shù)ξ的分布列與期望.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2010•武昌區(qū)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=px-
          q
          x
          -2lnx
          ,且f(e)=qe-
          p
          e
          -2
          ,其中p≥0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
          (1)求p與q的關(guān)系;
          (2)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍.
          (3)設(shè)g(x)=
          2e
          x
          .若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2010•武昌區(qū)模擬)
          lim
          x→0
          =
          ex-1
          x
          =
          1
          1

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          (2010•武昌區(qū)模擬)2010年兩會(huì)記者招待會(huì)上,主持人要從5名中國(guó)記者與4名外主國(guó)記者中選出3名進(jìn)行提問,要求3人中既有國(guó)內(nèi)記者又有國(guó)外記者,且國(guó)內(nèi)記者不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)是( 。

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