Question

【題目】已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在和上均為增函數(shù)，并利用零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，得出，再證明出也滿足方程，從而得出函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）由題意得出，利用這個(gè)關(guān)系式得出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，從而證明出題中結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞增.

又，.

所以，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，即，即.

又，，

因此，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn).

綜上所述，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）因?yàn)?/span> ，所以點(diǎn)在曲線上.

由題設(shè)，即.

所以直線的斜率

因?yàn)榍�線在點(diǎn)處切線的斜率是，

曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，

因此，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.