Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，的最小值為4.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）已知P，Q是拋物線(xiàn)C上不同的兩點(diǎn)，若直線(xiàn)恰好垂直平分線(xiàn)段PQ，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)，，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，用焦半徑公式表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)表示為的函數(shù)后可得最小值，由最小值為4可得；

（2）由垂直可設(shè)直線(xiàn)方程為，代入拋物線(xiàn)方程有，由韋達(dá)定理求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程，得的關(guān)系，再代入可求得的范圍．

解：（1）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn)，，

與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得，則，

，等號(hào)成立時(shí)，，

即，故拋物線(xiàn)；

（2）由題知，故可設(shè)直線(xiàn)方程為，

與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得，

則即①，

又，

設(shè)中點(diǎn)為，則，

，

又點(diǎn)在直線(xiàn)上，故，

則，

代入①式得，即，

解得.