Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，焦距為.

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn).

①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.

②若與關(guān)于軸對稱，證明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率、焦距和可解出，從而得到橢圓方程；（2）①設(shè)直線的方程為：，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，從而求得；整理可知：，從而證得結(jié)論；②與關(guān)于軸對稱可知，由①知，則，利用兩角和差正切公式展開整理，根據(jù)基本不等式求得最小值，經(jīng)驗(yàn)證等號無法取得，從而證得結(jié)論.

（1）由題意可得：，解得：

橢圓的方程為：

（2）證明：①設(shè)直線的方程為：，，

由消去得：

則，且，

即直線的斜率依次成等比數(shù)列

②由題可知：

由①可知：，，

若，則兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無法取得等號