Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若時，直線與函數(shù)圖象有三個相異的交點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）討論的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實數(shù)的取值范圍；

（2）求得導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和減區(qū)間.

（1）當(dāng)時，，．

令，得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

		極小值		極大值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)時，函數(shù)有極小值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值，如下圖所示：

若直線與函數(shù)圖象有三個相異的交點，則，

因此，實數(shù)的取值范圍為；

（2），．

①當(dāng)時，，．

令，得；令，得.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)時，令，得或；令，得.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當(dāng)時，令，得；令，得或.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述，

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.