Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求，令，求出，得出，對(duì)分類討論求出，

的解，即可得出結(jié)論；

（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求，設(shè)

，通過求導(dǎo)及構(gòu)造函數(shù)，得且滿足，進(jìn)而得到時(shí)，取得最小值，即可求出結(jié)論.

（1）

令，則，所以故

（�。┊�(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則或

（a）若即時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，，

所以在和上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減

（b）若即時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增

（c）若即時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，，

所以在和上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減

（2）解法一：參數(shù)分離法

由知在恒成立即

令，則

令，則，

所以在上單調(diào)遞增

又，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，且

所以當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，

即

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>

思路一：即

因?yàn)?/span>，所以（*）

設(shè)，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

思路二：即，兩邊取對(duì)數(shù)，

得

即（*）

設(shè)，則在上單調(diào)遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

下面提供一種利用最小值的定義求的最小值的方法：

先證：，

設(shè)，則，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以即，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

再證：

由得（用代換），

，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

最后證：方程有實(shí)根，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

又，，

所以在有唯一零點(diǎn)，

即方程有實(shí)根，

綜上，則有即，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法二：函數(shù)性質(zhì)法

由知在恒成立，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，

，所以在上單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上存在唯一零點(diǎn)，即，（1）

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

，

即，

思路一：即，

因?yàn)?/span>，所以，（*）

設(shè)，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，

由（*）知，

所以即，