Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，實數(shù)的取值范圍為．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間，為此必須對分類討論，先分類，，時，按和分類，在時按和分類，時，兩根是負數(shù)，不在定義域內(nèi)，而時，的兩根一正一負，易得結(jié)論；

（2）由（1）只有時，在一個極大值點，因此題意要求，，其中．滿足即，即，這樣有．于是令，討論的單調(diào)性得，所以等價于，解不等式可得結(jié)論。

（1）由題可得，函數(shù)的定義域為，

．

①當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)時，令，即，即，．

當(dāng)，即時，，

故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

當(dāng)，即時，方程的兩個實根分別為，．

若，則，，

此時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則，，

此時當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時函數(shù)有極大值，極大值為，其中．

又，所以，即，所以．

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又，所以當(dāng)時，，所以等價于，

即當(dāng)時，，即，

顯然當(dāng)時，，所以，即，解得，

故存在滿足條件的實數(shù)，使函數(shù)的極值大于，此時實數(shù)的取值范圍為．