Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為： ，直線的方程為．

（）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；

（）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線的方程；

（）在（）的前提下，若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）．

【解析】試題分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得圓心，半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及勾股定理可得直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)， 取最大值，

圓心到直線的距離，令， ，利用配方法可得時(shí)取最大值，弦長(zhǎng)取最小值，直線上方程為，（ ）設(shè)，當(dāng)以為圓心， 為半徑畫圓，當(dāng)圓與圓剛好相切時(shí)， ，解得或，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．

試題解析：（ ）圓的方程為，圓心，半徑．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，

圓心到直線的距離，

弦長(zhǎng)．

（）∵圓心到直線的距離

，

設(shè)弦長(zhǎng)為，則，

當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

當(dāng)時(shí)， 取到最小值．

此時(shí)， 取最大值，弦長(zhǎng)取最小值，

直線上方程為．

（）設(shè)，

當(dāng)以為圓心， 為半徑畫圓，當(dāng)圓與圓剛好相切時(shí)，

，

解得或，

由題意，圓與圓心有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)符合題意，

∴點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．