Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．
（1）求證：AF⊥平面SBC；
（2）在線段上DE上是否存在點G，使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°？若存在，求出DG的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點，得 ．

因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．

在Rt△SAE中， ，所以 ．

因此AE2=EFSE，又因為∠AEF=∠AES，

所以△EFA∽△EAS，

則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．

因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，

所以BC⊥底面SAE，則BC⊥AF．

又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC

（2）解：結論：在線段上DE上存在點G使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°，此時DG= ．

理由如下：

假設滿足條件的點G存在，并設DG=t．

過點G作GM⊥AE交AE于點M，

又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．

作MN⊥AF交AF于點N，連結NG，則AF⊥NG．

于是∠GNM為二面角G﹣AF﹣E的平面角，

即∠GNM=30°，由此可得 ．

由MN∥EF，得 ，

于是有 ， ．

在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，

即 ，解得 ．

于是滿足條件的點G存在，且 ．

【解析】（1）通過證明AF與平面SBC內的兩條相交直線垂直即可；（2）抓住兩點找到問題的求解方向：一是點G的預設位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想．