Question

下列命題：
①若函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′(

π

12

)=0；
②若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），則g'（2013）=2012!；
③若三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件；
④函數(shù)f(x)=

sinx

2+cosx

的單調(diào)遞增區(qū)間是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)．
其中真命題為

②④

．（填序號(hào)）

Answer 1

分析：①對(duì)函數(shù)整理后求導(dǎo)，將

π

12

代入導(dǎo)函數(shù)解析式即可；
②利用乘積的求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)整理后求導(dǎo)，將2013代入導(dǎo)函數(shù)解析式即可；
③f（x）為三次函數(shù)，“f（x）有極值點(diǎn)”的充要條件是導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，考慮其△即可；
④求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的增區(qū)間

解答：解：①由于函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，則h′（x）=-2sin2x
則h′(

π

12

)=-2sin2×

π

12

=-1，故①為假命題；
②由于函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
則g'（x）=[（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013）][（x-1）（x-3）…（x-2012）（x-2013）]…[（x-1）（x-2）…（x-2011）（x-2012）]
故g'（2013）=2012•2011•2010…2•1=2012!，故②為真命題；
③f′（x）=3ax²+2bx+c，f（x）有極值點(diǎn)?f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根?△=4b²-12ac＞0，故命題③為假命題；
④由于函數(shù)f(x)=

sinx

2+cosx

，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

令f′（x）＞0，則2cosx+1＞0，解得2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

 (k∈Z)
故f（x）的增區(qū)間是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)，故④為真命題．
故答案為②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的求導(dǎo)法則，正確求導(dǎo)，考查計(jì)算能力．