Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與面所成最大角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由已知條件推導(dǎo)出為正三角形，從而得到，，再由平面，得到，由此能證明平面,從而得到結(jié)論.
（2）為上任意一點(diǎn)，連接，，則為與平面所成的角，當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大，由此能求出二面角的余弦值.

（1）證明：∵四邊形為菱形，，

∴為正三角形，

∵為的中點(diǎn)，∴

又∵，∴，

∵平面，平面，

∴

而平面，平面，，

∴平面，又平面，

所以.

（2）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接，，如圖

由（1）知平面，

所以為與平面所成的角，

在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，最大，

因?yàn)?/span>，

此時(shí)，

因此，又，

所以，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面平面，

過(guò)作于，

則平面，

過(guò)作于，連接，

則為二面角的平面角，如圖

在中，，，

又是的中點(diǎn)，在中，，

又，，

在中，，

即所求二面角的余弦值為.