Question

【題目】設(shè)為實數(shù)，已知，

（1）若函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）直接把代入函數(shù)解析式，得到方程，求出的值；

（2）求出函數(shù)的解析式，用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可；

（3）分類討論，把函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式、分式類型函數(shù)解析式形式，利用它們的單調(diào)性求出的取值范圍.

（1）；

（2），當(dāng)時，解析式可化簡為：

，設(shè)是上任意兩個不相等的實數(shù)，則有，

，

因為，，所以，因此有

，所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)；

（3）當(dāng)時，而，所以，因為，所以有

在恒成立，設(shè)，對稱軸為：，故在上是增函數(shù)，要想（*）恒成立，只需

該不等式恒成立，故；

當(dāng)時，， 此時函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，要想在上恒成立，只需這與矛盾，故不成立；

當(dāng)時，，

當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，由（2）可知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在時，最小值為

要想在上恒成立，只需，而，所以，綜上所述：的取值范圍為：.