Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若存在，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列為“折疊數(shù)列”.

（1）若，，判斷數(shù)列，是否是“ 折疊數(shù)列”，如果是，指出m的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（2）若，求所有的實(shí)數(shù)q，使得數(shù)列是3-折疊數(shù)列；

（3）給定常數(shù)，是否存在數(shù)列使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值，證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）是“折疊數(shù)列”，不是“折疊數(shù)列”，理由見解析；（2）或或；（3）存在，證明見解析.

【解析】

（1）由給的定義進(jìn)行求解；

（2）根據(jù)題中所給定義，列方程討論q的取值可得出結(jié)果；

（3）只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列的圖象有無數(shù)條對(duì)稱軸，可聯(lián)想三角函數(shù)求解.

解：（1）若數(shù)列為“ 折疊數(shù)列”，則，

所以，

所以，得，

所以為“ 折疊數(shù)列”， ；

若數(shù)列是“ 折疊數(shù)列，則，

所以，得，

所以數(shù)列不是“ 折疊數(shù)列；

（2）要使通項(xiàng)公式為的數(shù)列是3-折疊數(shù)列，只需，

當(dāng)時(shí)， ，顯然成立，

當(dāng)時(shí)，由，得，，（），

所以或，

綜上，或；

（3）對(duì)給定的，都是折疊數(shù)列，故有多條對(duì)稱軸，其中都是數(shù)列的對(duì)稱軸，設(shè)，由（）得對(duì)稱軸為，且的周期為，

滿足給定常數(shù)，使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，是周期函數(shù)，周期為，在這個(gè)周期內(nèi)，為對(duì)稱軸，故對(duì)應(yīng)函數(shù)值的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值個(gè)數(shù)相等，即時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以各項(xiàng)中共有個(gè)不同的值，

綜上，給定常數(shù)，存在數(shù)列，使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值