Question

設函數(shù)，其中為正整數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（2）證明：；

（3）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

Answer 1

（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù).               …… 2分

   對于函數(shù)，設 ，則

   ，

   ，

   函數(shù)在上單調(diào)遞增.               …… 4分

（2） 原式左邊

                       

     

      .                                           …… 6分

    又原式右邊.                       

      .               …… 8分

（3）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

     的最大值為，最小值為.

    當時，， 函數(shù)的最大、最小值均為1.

    當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增.

     的最大值為，最小值為.

    當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

     的最大值為，最小值為.                  …… 11分

    下面討論正整數(shù)的情形：

    當為奇數(shù)時，對任意且

     ，

    以及 ，

     ，從而 .

     在上為單調(diào)遞增，則

    的最大值為，最小值為.                    …… 14分

    當為偶數(shù)時，一方面有 .

    另一方面，由于對任意正整數(shù)，有

    ，

    .

 函數(shù)的最大值為，最小值為.     

    綜上所述，當為奇數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為.

              當為偶數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為. …… 18分

解析:

同答案