Question

（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ) 函數(shù)在上單調(diào)遞增 (Ⅱ)略  （Ⅲ）的最大值為，最小值為.

解析:

：（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù). 1分

   對(duì)于函數(shù)，設(shè) ，則

   ，

   ，

   函數(shù)在上單調(diào)遞增.  3分

（2） 原式左邊   

     

      .… 5分

    又原式右邊.

      .    6分

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

     的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)的最大、最小值均為1.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增.

     的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

     的最大值為，最小值為.  … 9分

    下面討論正整數(shù)的情形：

    當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意且

     ，

    以及 ，

     ，從而 .

     在上為單調(diào)遞增，則

    的最大值為，最小值為.                    …… 11分

    當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，一方面有 .

    另一方面，由于對(duì)任意正整數(shù)，有

    ，

    .

 函數(shù)的最大值為，最小值為.     

    綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為. …… 13分