Question

【題目】求所有的由實數(shù)構(gòu)成的有限集合，使得，，且對中的任意四個不同的元素、、、都有.

Answer 1

【答案】（、，且，）

【解析】

（1）.

設(shè)，則由，，得，或.

由對稱性，不妨設(shè).

因為，所以，.

故（、是非零實數(shù)，且，）.顯然，集合滿足題設(shè)條件.

（2）.

則集合除0外還含有至少四個元素.

（ⅰ）若中至少有四個正數(shù)，設(shè)中最大元素為，且，則

，且，這不可能.

（ⅱ）若中至少有四個負(fù)數(shù)，設(shè)中的最小數(shù)是，且，則

，且，這不可能.

（ⅲ）若中有不少于兩個正數(shù)、兩個負(fù)數(shù)，設(shè)中最大元素為，且設(shè)，，，，則，且，這不可能.

（ⅳ）若中只有三個正數(shù)一個負(fù)數(shù)，設(shè)這四個數(shù)滿足，則同（1）知、、中有且只有一個為1.不妨設(shè).則，且，這不可能.

（ⅴ）若中只有三個負(fù)數(shù)一個正數(shù)，同（ⅳ）可得矛盾.

綜上，（、，且，）.