Question

【題目】已知：函數(shù)f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）

（Ⅰ）求f（x）定義域；

（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；

（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）{x|-2＜x＜2}（Ⅱ）奇函數(shù)（Ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式解集為（0，2）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為（-2，0）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)定義域需滿足對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)；（Ⅱ）判斷奇偶性需在定義域?qū)ΨQ的基礎(chǔ)上判斷的關(guān)系；（Ⅲ）解不等式時(shí)對(duì)a分情況討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，從而求其解集

試題解析：（Ⅰ）解：∵f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）

∴，

解得-2＜x＜2，

故所求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-2＜x＜2}．

（Ⅱ）f（-x）=loga（-x+2）-loga（2+x）=-[loga（x+2）-loga（2-x）]=-f（x），

故f（x）為奇函數(shù)．

（Ⅲ）原不等式可化為：loga（2+x）＞loga（2-x）

①當(dāng)a＞1時(shí)，y=logax單調(diào)遞增，

∴

即0＜x＜2，

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=logax單調(diào)遞減，

∴

即-2＜x＜0，

綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)，不等式解集為（0，2）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為（-2，0）