Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．

（1）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析    （2）

（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）在（1）的基礎(chǔ)上確定出三線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．

（1）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，   AD⊥DC，AD⊥DB，
又，∴AD⊥平面BDC，
∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|=1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得：

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，
所以，，
∴
所以與夾角的余弦值是．