Question

已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點(diǎn)，求證:a、b、c、d共面.

Answer 1

證明:（1）若其中任意三條直線不共點(diǎn)，

如圖（1），不妨設(shè)相交直線a、b確定平面α且直線c與a、b分別交于點(diǎn)M、N，則有M∈α, N∈α,∴cα.

同理,可證dα.

∴a、b、c、d共面.

（2）若其中有三條直線共點(diǎn)，如圖（2），不妨設(shè)a∩b∩c=Q且d∩a=M,d∩b=N,d∩c=P.

∵Qd,

∴點(diǎn)Q與直線d確定一個(gè)平面α.

∵Q∈α，M∈α,∴aα.

同理，bα,cα.

∴a、b、c、d共面.

小結(jié):證明多條直線共面問(wèn)題，常利用公理3或它的三個(gè)推論先確定一個(gè)平面，然后再證明其他直線也在此平面內(nèi)（常用公理1），證明多點(diǎn)共線也有類(lèi)似方法.如果構(gòu)成圖形的所有點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)圖形叫做平面圖形，本例中a、b、c、d構(gòu)成一個(gè)平面圖形.