Question

【題目】如圖，幾何體中，，均為邊長為2的正三角形，且平面平面，四邊形為正方形.

（1）若平面平面，求證:平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接.可證明,結(jié)合,可知四邊形為平行四邊形.進(jìn)而由和及平面與平面平行的判定定理證明平面平面;

（2）連結(jié),可知即為二面角的平面角.以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由線段關(guān)系寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面的法向量,即可根據(jù)直線與平面夾角的向量關(guān)系求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接.如下圖所示:

因?yàn)?/span>,且平面平面,

所以平面,

同理平面,

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,平面,

又, 平面,

又因?yàn)?/span>和交于點(diǎn)

所以平面平面.

（2）連結(jié),則,

又

所以為二面角的平面角,

所以

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量是,

則,即,

令,即,

又因?yàn)?/span>,

所以,

即所求的角的正弦值為.