Question

【題目】已知函數(shù)，.

(I)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)取(I)中的最小值時(shí)，求證: .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù).根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況分類討論 在不同范圍時(shí)滿足不等式的解，求出 的取值范圍。

（2）先求出(I)中的最小值時(shí)的值為1；所以.

再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及其單調(diào)性求出 ，從而得證。

詳解：(I)令，則.

①若，，

單調(diào)遞減， ，

則成立.

②若，存在，

使得，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，，

不合題意.

③若，結(jié)合與的圖象可知顯然不合題意.

綜上可知， 的取值范圍是

(Ⅱ)證明當(dāng)取(I)中的最小值為1時(shí)，

.

設(shè)，

則.

令，

則，

所以在上單調(diào)遞減，此時(shí) ，

即.

所以在上單調(diào)遞減.

所以

則.

所以，當(dāng)取(Ⅰ)中的最小值時(shí)， .