Question

（2011•武昌區(qū)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

（I）若△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（II）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c²，把c和cosC的值代入得到一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由sinC的值及三角形的面積等于

3

，利用面積公式列出a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可即可求出a與b的值；
（II）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-（A+B），進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，分兩種情況考慮：若cosA為0，得到A和B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出a與b的值；若cosA不為0，等式兩邊除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到b=2a，與第一問(wèn)中余弦定理得到的a與b的關(guān)系式聯(lián)立，求出a與b的值，綜上，由求出的a與b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（I）∵c=2，C=60°，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4，
根據(jù)三角形的面積S=

1

2

absinC=

3

，可得ab=4，
聯(lián)立方程組

a2+b2-ab=4 ab=4

，
解得a=2，b=2；
（II）由題意
sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
當(dāng)cosA=0時(shí)，A=

π

2

，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
聯(lián)立方程組

a2+b2-ab=4 b=2a

解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．
所以△ABC的面積S=

1

2

absinC=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，余弦定理，和差化積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中正弦定理及余弦定理很好的解決了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．